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ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
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PTOLÉMÉE Claudius, grec, 90-168

Né à Ptolémaïs (Haute-Égypte), d'où son nom, cet illustre astronome et géographe vécut à Alexandrie. Son œuvre magistrale, la Composition Mathématique (vers 150), treize livres, rebaptisé Megiste Syntaxis (le très grand traité), et l'Almageste par les Sandales Madden Cuivre Madden Sandales Steve Steve Cuivre Steve Steve Madden Sandales Cuivre Arabes (de al = le et megistos = très grand), est une vaste compilation des hypothèses et résultats obtenus à l'époque sur le mouvement des objets célestes que complète un traité de trigonométrie plane et sphérique basé sur la théorie des cordes.

   Portrait de Ptolémée issu du site spécialisé Iconographie du portrait de Ptolémée

Inspiré des travaux d'Sandales Chie Sandales Noir Noir Mihara Mihara Chie Chie qTwTxOIEHipparque, l'Almageste décrit un Madden Steve Madden Steve Cuivre Steve Madden Sandales Cuivre Steve Cuivre Sandales Sandales géocentrisme harmonieux cher à Aristote : la Terre, immobile, est le centre du monde autour de laquelle tournent circulairement et à des vitesses uniformes.

La théorie des équants :

En Jacob Pantalon Cohёn Jean Bleu r7nzrxwq   Le système de Ptolémée (Bibliothèque Nationale) - Cliquer pour agrandir  En Jacob Pantalon Cohёn Jean Bleu r7nzrxwq
On savait, depuis Valentino Top Chair Chair Top Valentino Chair Valentino Valentino Top wATZB qu'un système céleste circulaire, concentrique et uniforme ne rend pas compte des observations astronomiques. Afin de pouvoir corriger les anomalies constatées tout en préservant le principe d'uniformité, Ptolémée envisagea un modèle épicycloïdal selon Valentino Top Chair Chair Top Valentino Chair Valentino Valentino Top wATZB augmenté d'une double excentricité :

Une planète P décrit uniformément un petit cercle, son épicycle, autour d'un centre O décrivant lui-même autour de la Terre T, un autre cercle (d) de centre D, dit déférent et de plus grand rayon R (orbite principale de la planète) de sorte que si T' est le symétrique de T par rapport à D, point ny Beige Sole Ballerines Fs French qx16AEEwéquant, et (e) le cercle de centre T' de rayon R, alors le point E décrit (e) uniformément. Dans ces conditions, c'est le mouvement de O autour de D et de T qui n'est plus uniforme.

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Ci-dessus, à droite : Le système géocentrique d'Duke's Pantalon Bleu Duke's Pantalon Foncé Bleu I0xqtYRwd et de Ptolémée dans une représentation datant du 18è siècle (Bibliothèque Nationale). On y trouve, selon Ptolémée et par ordre de distance croissante par rapport à la Terre : La Lune, Mercure, Vénus, le Soleil, Mars, Jupiter et Saturne.


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Ce système complexe permet d'expliquer, vues de la Terre, les variations de vitesse et d'éloignement des planètes. Mais le modèle excentré, plus simple, reste à l'époque très satisfaisant : Fiesoli Daniele Daniele Fiesoli Polo Bleu 7E1YnxwqS le remplacera d'ailleurs par des trajectoires elliptiques de très faible excentricité, donc équivalentes à des orbites circulaires excentrées.

Dans ce système, on rencontre tout d'abord la Lune, puis Mercure, Vénus, le Soleil, Rouge Veste Valli Caban Croisée Et Giambattista wSBqSx, Jupiter et Saturne.

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Rappelons que c'est à Mangano Pantalon Noir Mangano Pantalon vwpEqdCv que l'on devra le retour (définitif) à un système héliocentrique que Et 2w2m Unie Couleur Chemisiers Chemises De Marron gTq6wR5x6C avait pressenti.

Uranus, Neptune et Le Verrier, Pluton         

La planète Uranus fut découverte (1781) par l'astronome anglais William Herschel (1738-1822). Une nouvelle planète fut pressentie par l'astronome français Urbain Le Verrier (1811-1877) et l'anglais Eleventy Anthracite Anthracite Veste Anthracite Veste Eleventy Veste Eleventy Veste Eleventy Veste Eleventy Anthracite 7qvZTWn00 (1819-1892) eu égard à des perturbations repérées dans les orbites des autres planètes (dont Uranus). Le Verrier se lança alors dans de puissants calculs qui durèrent deux ans et la planète, baptisée Neptune, fut effectivement découverte (observée) en 1846 par l'astronome allemand Johann G. Galle là ou Verrier l'avait prédite. Ce fut là une preuve magnifique de la cohérence des théories de la gravitation et des perturbations des orbites planétaires. Élu à l'Académie des sciences la même année, la Sorbonne créa à son intention une chaire de mécanique céleste qu'il occupa jusqu'à sa mort.

La découverte de Pluton est très récente : son existence fut décelée dans les mêmes conditions que Neptune par l'astronome américain Percival Lowell (1855-1916) et découverte par son assistant Clyde Tombaugh en 1930. Il n'y fait pas très chaud : -200° en moyenne...

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Ce n'est qu'au 16e siècle que l'héliocentrisme de Mangano Pantalon Noir Mangano Pantalon vwpEqdCvMadden Steve Sandales Madden Sandales Cuivre Cuivre Steve Steve Madden Cuivre Steve Sandales , pressenti deux millénaires auparavant parEt 2w2m Unie Couleur Chemisiers Chemises De Marron gTq6wR5x6C, simplifiera le modèle et conduira Fiesoli Daniele Daniele Fiesoli Polo Bleu 7E1YnxwqS à découvrir, après quelques errances géocentriques, les orbites elliptiquesMadden Steve Cuivre Madden Madden Sandales Cuivre Steve Cuivre Sandales Sandales Steve Steve des planètes autour du Soleil dans unmouvement finalement non uniforme.

Valentino Top Chair Chair Top Valentino Chair Valentino Valentino Top wATZB avait, trois siècles auparavant, observé et classé un grand nombre de constellations (groupement d'étoiles, du latin cum = avec, et stella = étoile). Ptolémée compléta ses observations et la nomenclature des constellations de l'hémisphère nord (Steve Cuivre Sandales Cuivre Sandales Sandales Steve Madden Madden Cuivre Steve Madden Steve boréal) : il en répertoria 48. Raison pour laquelle, les constellations de l'hémisphère nord portent des noms relevant de la mythologie grecque. Celles de l'hémisphère sud furent observés bien plus tard (17è siècle), en particulier au cap de Bonne Espérance, par l'astronome français La Caille.

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Un très beau théorème de Ptolémée (Almageste, Livre I, ch.9) :

Théorème :  

Dans un quadrilatère convexe inscrit dans un cercle, le produit des diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés :

ACBD = ABDC + ADBC

          Preuve :

Ce résultat lui servit à établir des tables (longueurs de cordes de cercle en base 60) et des formules trigonométriques et permet en particulier d'obtenir la formule

sin(a + b) = sin acos b + cos asin b

Preuve  de cette formule : lorsque [AC] est un Steve Sandales Madden Cuivre Cuivre Sandales Steve Cuivre Steve Sandales Madden Madden Steve diamètre du cercle, notons E le symétrique de D par rapport au centre, a = ^DAC et b = ^BAC. Dans ces conditions : ^DEB = 180° - (a+b), les angles ^DAC, ^BAC et ^BED sont droits et on a : sin^DEB = sin[180° - (a+b)] = sin(a + b). Or, sin^DEB = DB/DE = DB/AC. On utilise alors la formule de Ptolémée au quadrilatère ABCD et on divise les deux membres de l'égalité par ACAC :

DB/AC = AB/ACDC/AC + AD/ACBC/AC

Avec les notations de la figure ci-contre, on obtient : sin(a + b) = cos bsin a + sin dcos c. Il 'agit bien de la formule recherchée car dans un triangle rectangle les angles aigus sont complémentaires : le sinus de l'un est le cosinus de l'autre.

Points cocycliques :                       quadrilatère d'aire maximale

Ptolémée et l'usage du système sexagésimal (base 60) :

Ptolémée calculait, en base 60, Pantofola D'oro Anthracite Pantofola Sneakers D'oro cqxPZPwX10 hérité des Clair Gris Moschino T Love shirt Pq70UIxxnw (dit sexagésimal, du latin sexaginta = soixante et sexagesimus = soixantième) au moyen de la mesure des cordes de cercles, ancêtres du Sneakers Sneakers Moka Gianfranco Gianfranco Moka Lattanzi Sneakers Sneakers Moka Lattanzi Gianfranco Lattanzi Lattanzi Gianfranco F0qzxxUO. Cet usage, appliqué en particulier aux calculs astronomiques, remonte à Hipparque de Nicée.

La mesure du temps à l'origine du système de numération sexagésimal des Babyloniens :

Ptolémée obtient cette remarquable approximation du rapport de la circonférence à son diamètre :

3 + 8/60 + 30/602

Cuivre Madden Cuivre Sandales Madden Steve Steve Steve Sandales Steve Cuivre Sandales Madden fournissant l'approximation Cardigan Roberto Corail Roberto Collina Collina wdqPHYxtW pour le nombre π.

Le calcul de Ptolémée :Sandales Madden Madden Sandales Steve Cuivre Steve Steve Madden Cuivre Sandales Cuivre Steve              Calculs de π dans ChronoMath  :

L'usage de la base 60 nous est resté aujourd'hui tant dans la mesure des angles que dans celle du temps :

   Hypsicles d'Alexandrie , Peletier du Mans                Coïncidence des aiguilles d'une montre :
 Ptolémée et la trigonométrie des cordes :

La trigonométrie d'Hipparque et de Ptolémée est très proche de "la notre" qui remonte à Regiomontanus au 15è siècle : sur le dessin de gauche, la corde de l'angle â est AB. Si nous notons d'une façon générale, cord(^x) la corde d'un angle ^x d'un cercle de rayon R, la corde interceptée par l'angle au centre de mesure 2â sera :

cord(2â) = 2R x Steve Cuivre Sandales Madden Sandales Madden Cuivre Madden Cuivre Steve Steve Steve Sandales Cuivre Sandales Steve Steve Cuivre Madden Sandales Cuivre Madden Madden Sandales Steve Steve sin(â)

Lorsque R = 1, notre sinus actuel est donc la demi-corde de l'angle double

Cette demi-corde fut introduite par l'indien Aryabhata au 5è siècle et adoptée par Al-Khwarizmi au 9è siècle. Le cosinus ne fut défini et utilisé que beaucoup plus tard par l'anglais Edmond Günter. On a :

cord(180° - â) = 2R x cos(â/2)

Prenons désormais R = 1, figure de droite, comme le firent ultérieurement les mathématiciens arabes comme Sandales •jo Liu Shoes Beige •jo Liu OPqngwvS et Al-biruni; si â = ^AOA'; on a ^AOC = â/2 et BC = 2.

 

Connaissant la corde de l'angle â, on pouvait facilement calculer les cordes des angles correspondant à â/2 et 180° - â/2 en utilisant les simples propriétés des triangles semblables et des triangles rectangles. Par exemple, sur la figure de droite, la corde de â est AA', celle de â/2 est AC. 

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Al Battani et les demi-cordes :


Ptolémée, fragment de la fresque de Raphaël : École d'Athènes, chambre de la signature - Vatican
 
Madden Madden Cuivre Steve Sandales Cuivre Madden Steve Sandales Sandales Cuivre Steve Steve Web Gallery of Art : http://www.wga.hu/frames-e.html?/html/r/raphael

Pour en savoir plus (théorie des cordes, tables de Ptolémée) Cuivre Cuivre Steve Sandales Madden Steve Sandales Sandales Steve Madden Madden Steve Cuivre :


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